As Constantes de Kaprekar

Considera um número qualquer com quatro algarismos, que não tenha todos os algarismos iguais, por exemplo 1184. A partir deste número, forma dois números: um deles, considerando os algarismos por ordem decrescente (8411); outro, considerando os algarismos por ordem crescente (1148). Subtrai o menor ao maior ($8411 - 1148$) e repete o processo vezes sem conta…

O que há de especial nesta situação? Incrivelmente, o processo estabiliza sempre no mesmo número, qualquer que seja o número de partida. Vejamos este e outro exemplo:

$$\begin{aligned} 1184 \to 8411 - 1148 &= 7263 \\ 7632 - 2367 &= 5265 \\ 6552 - 2556 &= 3996 \\ 9963 - 3699 &= 6264 \\ 6642 - 2466 &= 4176 \\ 7641 - 1467 &= \mathbf{6174} \\ 7641 - 1467 &= \mathbf{6174} \end{aligned} \qquad\qquad \begin{aligned} 2025 \to 5220 - 0225 &= 4995 \\ 9954 - 4599 &= 5355 \\ 5553 - 3555 &= 1998 \\ 9981 - 1899 &= 8082 \\ 8820 - 0288 &= 8532 \\ 8532 - 2358 &= \mathbf{6174} \end{aligned}$$

O 6174 ficou conhecido como a Constante de Kaprekar, em homenagem ao matemático indiano com o mesmo nome, Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905–1986), que, em 1949, apresentou o problema.

Desafio

Número máximo de etapas

Haverá um número máximo de etapas necessárias para atingir este valor?

A tua respostaetapasVerificar

Ver resolução

Sim! Verificou-se que todos os números “vão parar” a esta constante ao fim de 7 etapas, no máximo. (Confirmámos por computador, para todos os números de 4 algarismos, contando 0001, 0002, … com zeros à esquerda.)

Também os números com três algarismos verificam esta regularidade. Para estes, a constante é 495:

• $726 \to 762 - 267 = 495$; $954 - 459 = 495$
• $474 \to 744 - 447 = 297$; $972 - 279 = 693$; $963 - 369 = 594$; $954 - 459 = 495$

Atualmente, a empresa sem fins lucrativos Scigram Technologies Foundation desenvolve na Índia uma plataforma de ensino em computadores especialmente para escolas rurais e tribais. Utilizando computadores simples, calcularam, para cada número de 4 algarismos, o número de etapas para atingir o número 6174 (que variava entre 0 e 7); a cada um destes 8 números foi atribuída uma cor, criando um código. Então, substituíram cada um dos números de quatro algarismos pela cor correspondente, dando origem à imagem seguinte, que apresenta um belíssimo padrão!

Kaprekar teve sempre uma grande fascínio por números ao longo da sua vida, mas só alcançou fama internacional em 1975, quando Martin Gardner escreveu sobre ele e os seus números na sua coluna Mathematical Games na edição de março da Scientific American.

Sugestão de pesquisa: o que são Números de Kaprekar?

Fontes: BBC, clube.spm.pt