O que são Números de Kaprekar?

Um número de Kaprekar, numa determinada base, é um inteiro não negativo tal que a representação do seu quadrado nessa base pode ser dividida em duas partes que, somadas, permitem obter o número original. Ao dividir o número cujas partes se vão adicionar, devemos deixar a parte mais longa à direita.

Por exemplo, $297$ é um número de Kaprekar porque

$$297^2 = 88\,209 \quad\text{e}\quad 88 + 209 = 297.$$

$88\,209$ tem um número ímpar de algarismos. Nesta definição, devemos deixar a parte mais longa à direita: $88 + 209$ (e não $882 + 09$).

Devido a esta regra, $10$ não é um número de Kaprekar: $100 \Rightarrow 10 + 0 = 10$ far-nos-ia concluir, erradamente, que estaríamos perante um número de Kaprekar.

$n$	$n^2$	Soma	$S = n$?
1	1	0 + 1 = 1	sim
2	4	0 + 4 = 4	não
3	9	0 + 9 = 9	não
4	16	1 + 6 = 7	não
5	25	2 + 5 = 7	não
6	36	3 + 6 = 9	não
7	49	4 + 9 = 13	não
8	64	6 + 4 = 10	não
9	81	8 + 1 = 9	sim
10	100	1 + 00 = 1 (*)	não
11	121	1 + 21 = 22	não
45	2025	20 + 25 = 45	sim
55	3025	30 + 25 = 55	sim
65	4225	42 + 25 = 67	não
99	9801	98 + 01 = 99	sim
297	88209	88 + 209 = 297	sim
703	494209	494 + 209 = 703	sim

Os primeiros números de Kaprekar são 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4950, 5050, 7272, 9999, 17344, 22222, 77778, 82656, …