Curiosidades

1. Quadrados perfeitos ao espelho

Os pares de quadrados perfeitos $144$ e $441$, $169$ e $961$, $14\,884$ e $48\,841$, e as suas respetivas raízes $12$ e $21$, $13$ e $31$, $122$ e $221$, são formados pelos mesmos algarismos, porém escritos em ordem inversa.

O matemático Thébault investigou os pares que têm esta curiosa propriedade. Encontrou, por exemplo, a seguinte dupla: $1\,238\,769$ e $9\,678\,321$.

A raiz quadrada de $1\,238\,769$ é $\underline{1113}$ e a raiz quadrada de $9\,678\,321$ é $\underline{3111}$. Repara que os números dados são formados pelos mesmos algarismos, mas lidos da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita, e o mesmo acontece com as suas raízes. Curioso, de facto! Será que existem mais pares destes números? Investiga!

Bernardo Lopes, 10.º B

2. Números de três algarismos

• Escolhe um número de 3 algarismos.
• Repete esse número ao lado do mesmo (obtendo um número com 6 algarismos).
• Divide o número obtido por 13.
• Divide o resultado por 11.
• Divide novamente o resultado por 7.
• O resultado que obténs é igual ao número que escolheste.

Experimenta repetir o processo com outro número. Consegues explicar este facto? (Já falámos deste truque na primeira edição do +MAT!)

3. Quadrados perfeitos

Adicionando o número 1 ao produto de quatro números consecutivos, obtém-se um quadrado perfeito:

$$\begin{aligned} 1 \times 2 \times 3 \times 4 + 1 &= 25 = 5^2 \\ 2 \times 3 \times 4 \times 5 + 1 &= 121 = 11^2 \\ 3 \times 4 \times 5 \times 6 + 1 &= 361 = 19^2 \\ &\;\;\vdots \end{aligned}$$

Experimenta continuar o processo.

Porque é que isto acontece?

Sendo $n$ o primeiro dos quatro números,

$$n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2.$$

Por exemplo, para $n = 3$: $3^2 + 3 \times 3 + 1 = 19$.

4. Algarismo das unidades

Desafio

Algarismo das unidades

Multiplicando todos os números ímpares de 1 a 2023, qual é o algarismo das unidades do resultado? Consegues justificar esta propriedade?

A tua respostaVerificar

Ver resolução

O produto é ímpar (só tem fatores ímpares) e é múltiplo de 5 (o 5 é um dos fatores). Um número ímpar múltiplo de 5 termina sempre em 5.

Fontes: im.ufrj.br, somatematica.com.br