Curiosidades numéricas

1. Um número que volta sempre

Se escolhermos um número qualquer com 3 algarismos (por exemplo $657$), o repetirmos à sua frente ($657\,657$), o dividirmos por $13$ ($50\,589$), de seguida por $11$ ($4599$) e, por fim, por $7$ ($657$), o número vai ser igual ao número inicial.

Confirma o resultado anterior (escolhe um número com 3 algarismos e segue o procedimento indicado).

Consegues justificar / provar porque é que isto acontece? Fica aqui o desafio.

Inês Rodrigues, 10.º F

2. Números feitos só de uns

Os números compostos apenas pelo algarismo 1 têm uma particularidade curiosa. Repara:

$$\begin{aligned} 1 \times 1 &= 1 \\ 11 \times 11 &= 121 \\ 111 \times 111 &= 12\,321 \\ 1111 \times 1111 &= 1\,234\,321 \\ 11\,111 \times 11\,111 &= 123\,454\,321 \\ 111\,111 \times 111\,111 &= 12\,345\,654\,321 \\ 1\,111\,111 \times 1\,111\,111 &= 1\,234\,567\,654\,321 \\ 11\,111\,111 \times 11\,111\,111 &= 123\,456\,787\,654\,321 \\ 111\,111\,111 \times 111\,111\,111 &= 12\,345\,678\,987\,654\,321 \end{aligned}$$

Inês Rodrigues e Rita Sousa, 10.º F

3. Capicuas

$11\,211$ é uma capicua ou número palíndromo. Estes números, quando lidos da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, representam o mesmo valor.

Sem contar com os números de um só algarismo:

Desafio

Qual é o menor número capicua?

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A resolução será publicada na próxima edição. Envia a tua resposta à equipa do +MAT!

Desafio

Qual é o menor número capicua que é um quadrado perfeito?

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A resolução será publicada na próxima edição. Envia a tua resposta à equipa do +MAT!

Desafio

Quantos outros quadrados há menores que 1000 que sejam capicuas?

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Para além de $121 = 11^2$, há mais 2: $484 = 22^2$ e $676 = 26^2$.

Desafio

Há cinco números primos capicuas entre 100 e 200. Quais são?

Resolução

São $101$, $131$, $151$, $181$ e $191$.

Uma técnica curiosa de obtenção de números palíndromos consiste em escolher qualquer número, com qualquer número de dígitos, inverter a ordem dos algarismos e somar esse número ao número escolhido. Este processo deve repetir-se até se obter o número palíndromo. O processo pode ser demorado ou muito rápido…

Exemplo: número escolhido $2456$. Invertendo a ordem: $6542$. Somando os dois: $8998$. Feito!

Desafio

Experimenta com 1961

Experimenta, por exemplo, com o número $1961$. O processo terá de ir além da primeira etapa. Quantas vezes terás de repetir o processo até obter uma capicua?

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$1961 + 1691 = 3652$, $3652 + 2563 = 6215$, $6215 + 5126 = 11\,341$ e $11\,341 + 14\,311 = 25\,652$. São precisas 4 etapas.

Desafio

E se escolheres o número 1999?

Quantas etapas são precisas agora?

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São precisas 7 etapas, e chega-se à capicua $712\,217$.

Professora Teresa Guarino