Desafios

Ano 1 · Edição 01 · novembro 20224 de 74 min de leitura

Desafio 1

Torre de Hanói

O famoso jogo da Torre de Hanói foi inventado pelo matemático francês Édouard Lucas (1840–1891). Trata-se de um “quebra-cabeças” que consiste numa base contendo três pinos, em que no da esquerda estão dispostos alguns discos, uns sobre os outros, em ordem decrescente de diâmetro, de baixo para cima.

Objetivo: mover todos os discos para o pino da direita de forma a que, no final, a torre mantenha a sua configuração inicial.

Regras: mover um disco de cada vez, tendo em atenção que um disco maior nunca pode ficar em cima de um disco menor.

Torre de Hanói em madeira — Podes experimentar na Biblioteca da tua escola!

Qual é o menor número de movimentos que permitem mover todos os discos do pino da esquerda para o da direita?

etapa 1 — 1 disco → 1 movimento
etapa 2 — 2 discos → 3 movimentos
etapa 3 — 3 discos → ? movimentos

Há aqui uma regularidade, um padrão. Consegues estabelecer a regra para $n$ discos?

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Com 3 discos são precisos 7 movimentos.

Para mover $n$ discos, temos de mover os $n - 1$ de cima para o pino do meio, mover o disco maior e voltar a pôr os $n - 1$ discos por cima dele. Assim, $M_n = 2M_{n-1} + 1$ , com $M_1 = 1$ , o que dá $1, 3, 7, 15, 31, \ldots$ , ou seja,

M_n = 2^n - 1.

Desafio 2

O claustro do mosteiro

Claustro quadrado com um poço a 40 m, 50 m e 30 m de três esquinas consecutivas

Um mosteiro medieval foi construído à volta de um claustro (região central) de forma quadrada. Este claustro tinha um poço que abastecia de água todos os monges.

O poço estava situado de modo que a distância a três esquinas consecutivas era 30 m, 40 m e 50 m, respetivamente.

Quais eram as dimensões do claustro? (Arredonda às décimas.)

Atividades matemáticas, Brian Bolt

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Coloquemos a esquina a 40 m na origem, a esquina a 50 m em $(s, 0)$ e a esquina a 30 m em $(0, s)$ , sendo $(x, y)$ a posição do poço:

x^2 + y^2 = 40^2, \qquad (s - x)^2 + y^2 = 50^2, \qquad x^2 + (s - y)^2 = 30^2.

Subtraindo a primeira equação das outras duas obtemos $x = \dfrac{s^2 - 900}{2s}$ e $y = \dfrac{s^2 + 700}{2s}$ . Substituindo na primeira, e fazendo $u = s^2$ :

u^2 - 3400u + 650\,000 = 0 \;\Rightarrow\; u = 1700 + 400\sqrt{14} \approx 3196{,}7

(a outra solução põe o poço fora do claustro). Logo, o claustro era um quadrado com cerca de 56,5 m de lado.

Desafio 3

O poder do “4”

Escreve os números inteiros de 0 a 100, utilizando apenas quatro algarismos 4 e operações matemáticas elementares tais como a soma, a divisão, a potenciação ou o fatorial (*).

Por exemplo, se quisermos obter o número 3, é só fazer a seguinte operação: $(4 + 4 + 4) : 4$ .

(*) Fatorial de um número natural $n$ é o produto de todos os inteiros de 1 a $n$ e representa-se por $n!$ . Por exemplo, $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$ .

Afonso Gaspar (10.º E) e Diogo Martins (12.º B)

Problema adaptado de um livro de Malba Tahan

A resolução será publicada na próxima edição. Envia a tua resposta à equipa do +MAT!

Desafio 4

A ida ao museu

Quatro amigos vão visitar um museu e um deles resolve entrar à borla. Aparece um guarda que quer saber qual deles entrou sem pagar.

“Eu não fui”, diz o Benjamim.
“Foi o Carlos”, diz o Mário.
“Foi o Pedro”, diz o Carlos.
“O Mário não tem razão”, diz o Pedro.

Só um deles mentiu. Quem não pagou bilhete?

José Paulo Viana, Desafios

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O Mário e o Pedro dizem coisas opostas, por isso um deles mente — e, como só há um mentiroso, o Benjamim e o Carlos dizem a verdade. Pela afirmação do Carlos, quem entrou sem pagar foi o Pedro. Confirmação: nesse caso só o Mário mente.

Se quiseres enviar a(s) tua(s) resolução(ões), podes utilizar o endereço de email do jornal: maismatjornal@gmail.com. Serão selecionadas para publicação as melhores resoluções.