Resoluções dos desafios da edição anterior

Ano 3 · Edição 03 · maio 202511 de 114 min de leitura

“A ciência nunca resolve um problema sem criar, pelo menos, outros dez.”
— Bernard Shaw

Desafio 1

Quantas girafas e quantas avestruzes?

Antes de saírem do parque, Bob e Helen atravessaram o Jardim Zoológico. Numa jaula viram uma mistura de girafas e de avestruzes.

Depois de terem saído, Bob falou com Helen:

— Contaste as girafas e as avestruzes?
— Não, quantas eram?
— Descobre tu. Ao todo, tinham 30 olhos e 44 pés.

Ah, descobri!, Martin Gardner

Resolução

$x$ girafas e $y$ avestruzes têm $2x + 2y$ olhos e $4x + 2y$ pés. Assim,

\begin{cases} 2x + 2y = 30 \\ 4x + 2y = 44 \end{cases}

o que nos dá $x = 7$ e $y = 8$ . A resposta é 7 girafas e 8 avestruzes.

Desafios lógicos — Na Selva (R. Smullyan)

O Leão (L) mente às segundas, terças e quartas, dizendo sempre a verdade nos outros dias.
O Unicórnio (U) mente às quintas, sextas e sábados, dizendo sempre a verdade nos outros dias.

Desafio 2a

O Leão sozinho

Numa ocasião, a Alice encontrou o Leão sozinho. Ele fez as seguintes afirmações:

“Ontem foi dia de eu mentir.”
“Vou mentir daqui a 3 dias.”

Em que dia da semana estamos?

Resolução

	Dom	Seg	Ter	Qua	Qui	Sex	Sáb
Leão	V	M	M	M	V	V	V

A frase “ontem foi dia de eu mentir” podia ter sido proferida pelo Leão à segunda ou à quinta-feira.

A frase “vou mentir daqui a 3 dias” só não poderia ter sido proferida pelo Leão à quinta-feira.

Logo, é segunda-feira.

Desafio 2b

O Leão e o Unicórnio

Numa ocasião, a Alice encontrou o Leão e o Unicórnio, que lhe disseram:

U: “Ontem foi dia de eu mentir.”
L: “Amanhã vou dizer a verdade.”

Em que dia da semana estamos?

Resolução

	Dom	Seg	Ter	Qua	Qui	Sex	Sáb
Unicórnio	V	V	V	V	M	M	M

A frase “ontem foi dia de eu mentir” podia ter sido proferida pelo Unicórnio ao domingo ou à quinta-feira.

A frase “amanhã vou dizer a verdade” podia ter sido proferida pelo Leão todos os dias exceto quarta e domingo.

Logo, é quinta-feira.

Desafio 3

No quadrado

Dois quadrados sobrepostos, o maior com um vértice no centro do menor

O quadrado pequeno tem 1 m de lado e o grande 1,5 m. Este tem um dos vértices no centro do quadrado pequeno.

O lado do quadrado grande corta o lado do pequeno ao terço do seu comprimento.

Qual é a superfície da parte comum dos dois quadrados?

100 jogos geométricos, Pierre Berloquin

Resolução

Resolução 1. Sejam:

$[ABCD]$ o quadrado pequeno: $\overline{CD} = \overline{DA} = 1$ m;
$[EFGH]$ o quadrado grande: $\overline{EF} = \overline{EH} = 1{,}5$ m.

Figura com os vértices identificados e a parte comum sombreada

Como “o lado do quadrado grande corta o lado do pequeno ao terço do seu comprimento”, tem-se

\overline{IA} = \tfrac{1}{3} \quad\text{e}\quad \overline{JB} = \tfrac{1}{3}, \quad\text{logo}\quad \overline{JA} = \tfrac{2}{3}.

Seja $R$ a projeção ortogonal de $E$ sobre $[DA]$ . A parte comum dos dois quadrados é o quadrilátero $[EIAJ]$ , cuja área pode ser obtida pela soma das áreas dos triângulos $[EIA]$ e $[AJE]$ .

Triângulo EIA

\text{área}\,[EIA] = \overline{IA} \times \overline{ER} \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{3} \times \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{12}

Triângulo AJE

Sendo $S$ a projeção ortogonal de $E$ sobre $[AB]$ , vem

\text{área}\,[AJE] = \overline{AJ} \times \overline{ES} \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{2}{3} \times \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{6}

Então, a área pedida é

\frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{4}\ \text{m}^2.

Resolução 2. A área do quadrado $[ABCD]$ é igual a $1\ \text{m}^2$ .

Por uma rotação do quadrado $[EFGH]$ em torno de $E$ , que aplica $I$ em $R$ ( $J$ será aplicado em $S$ , projeção ortogonal de $E$ sobre $[AB]$ ), a região comum é o quadrado $[ERAS]$ , cuja área corresponde a $\frac{1}{4}$ da área de $[ABCD]$ , ou seja, igual a $\frac{1}{4}\ \text{m}^2$ .