Desafios

Ano 3 · Edição 03 · maio 20259 de 113 min de leitura

“A beleza da Matemática só se mostra aos seguidores mais pacientes.”
— Maryam Mirzakhani

Desafio 1

Número de bilhetes

A escola de Odete vai realizar uma angariação de fundos, vendendo rifas. A turma dela ficou responsável por vender os bilhetes de 2000 até 9999.

Desses bilhetes, o professor Júlio comprou todos nos quais o algarismo 3 aparecia exatamente três vezes.

Depois da compra, o professor deu à Odete todos os bilhetes que comprou cuja numeração tinha algum algarismo 0.

Com quantos bilhetes ficou o professor Júlio?

ONEM 2010 — adaptado

Ver resolução

Contamos primeiro os números de 2000 a 9999 com exatamente três algarismos 3.

O primeiro algarismo é 3. Dos três algarismos seguintes, exatamente dois são 3. Escolhemos a posição do algarismo que não é 3 ( $3$ maneiras) e o seu valor ( $9$ maneiras): $3 \times 9 = 27$ números.
O primeiro algarismo não é 3. Então os três últimos são $333$ , e o primeiro pode ser $2, 4, 5, 6, 7, 8$ ou $9$ : $7$ números.

O professor comprou $27 + 7 = 34$ bilhetes.

Destes, têm um algarismo 0 apenas $3033$ , $3303$ e $3330$ (no segundo caso o primeiro algarismo nunca é 0). Assim, o professor Júlio ficou com

34 - 3 = 31 \text{ bilhetes.}

Desafio 2

Calcula a área do quadrado vermelho

Quadrado vermelho inclinado, apoiado em quadrados de áreas 12, 27, 12 e 3

Na figura estão, para além do quadrado vermelho, outros 4 quadrados, posicionados como a figura sugere, com áreas 3, 12, 12 e 27.

O quadrado de área 3 está colocado sobre o quadrado de área 12, centrado neste.

Qual é a área do quadrado vermelho?

notes.mathforge.org

A resolução será publicada na próxima edição. Envia a tua resposta à equipa do +MAT!

Desafio 3

2 = 1. Onde está o erro?

Sejam $a$ e $b$ dois números reais, sendo ambos diferentes de zero. Suponhamos que $a = b$ .

Então, se $a = b$ , multiplicando os dois lados da igualdade por $a$ temos: $a^2 = ab$ .

Subtraindo $b^2$ dos dois lados da igualdade temos: $a^2 - b^2 = ab - b^2$ .

Aplicando a diferença de quadrados, temos: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ .

Colocando $b$ em evidência do lado direito temos: $(a - b)(a + b) = b(a - b)$ .

Dividindo ambos os membros por $(a - b)$ temos: $a + b = b$ .

Como no início dissemos que $a = b$ , então no lugar de $a$ podemos colocar $b$ . Ficamos com $b + b = b$ , ou seja, $2b = b$ .

Finalmente, dividindo ambos os membros por $b$ chegamos à conclusão: $2 = 1$ .

Obviamente que esta demonstração possui um erro, pois todos nós sabemos que 2 não é igual a 1 (ou alguém tem alguma dúvida?)!

Ver resolução

Como $a = b$ , temos $a - b = 0$ . No passo em que se “dividem ambos os membros por $(a - b)$ ” está-se, na verdade, a dividir por zero, o que não é permitido.

A igualdade $(a - b)(a + b) = b(a - b)$ é verdadeira, mas apenas porque ambos os membros valem $0$ . Daí não se pode concluir que $a + b = b$ : por exemplo, $0 \times 5 = 0 \times 3$ e, no entanto, $5 \neq 3$ .