Curiosidades

Googol / Googolplex

Uma curiosidade fascinante da Matemática é sobre os números Googol e Googolplex.

Um googol é um termo matemático para definir um número gigantesco: 1 seguido de cem zeros ($10^{100}$).

O googolplex é outro número muito, mas muito maior: o número 1 seguido de um googol de zeros, $10^{10^{100}}$…

Não há espaço suficiente no planeta para escrever um Googolplex! Este nome inspirou os fundadores do Google.

Primos

Desafio

Primos que terminam em 2, 5 ou 0

Os únicos números primos que terminam em 2 e 5 são 2 e 5. Nenhum número primo termina em 0. Porquê?

Resolução

Um número que termina em 2 (ou em 0) é par, logo divisível por 2; um número que termina em 5 (ou em 0) é divisível por 5. Só o próprio 2 e o próprio 5 escapam, porque são primos. Nenhum número terminado em 0 é primo, porque é divisível por 2 e por 5 (e não é nenhum deles).

Brincando com palavras 1

Lewis Carroll, matemático e autor de Alice no País das Maravilhas, entre outras obras, inventou um jogo chamado Doublets. O objetivo desta brincadeira é partir de uma palavra e chegar a outra, trocando uma letra de cada vez, desde que a mudança dê origem a uma palavra da língua portuguesa (ou da língua na qual se está a jogar, como é óbvio).

Por exemplo, um Doublet que parta de “vida” e chegue a “bela” pode ser feito assim: vida → vila → vela → bela.

Experimenta fazer os seguintes Doublets: sou → lei; tem → voz; fim → sós; tem → cor; cabe → tudo; seis → sete; sete → vela; bom → mau.

Brincando com palavras 2

Sguedno um etsduo da Uinvesriadde de Cmabgirde, a oderm das lertas nas pavralas não tem qsuae nhneuma ipmortância. O que ipmrtoa é que a prmiiera e a útlima lreta etsajem no lcoal cetro. De rseto, pdoe ler tduo sem gardnes dfiilcuddaes… Itso é prouqe o crebéro lê as pavralas cmoo um tdoo e não lreta por lerta.

A partir da palavra “LETRAS”, por exemplo, mantendo o L e o S, podemos formar outras 16 “palavras” diferentes. Algumas destas sem significado na língua portuguesa. No texto (1.ª linha) aparece a “palavra” “LERTAS”.

Ainda conseguimos ler os textos se trocarmos algumas letras por números…

35T3 P3QU3N0 T3XT0 53RV3 4P3N45 P4R4 M05TR4R C0M0 N0554 C4B3Ç4 C0N53GU3 F4Z3R C01545 1MPR35510N4ANT35 !! R3P4R3 N1550 !! N0 COM3ÇO 35T4V4 M310 COMPL1C4DO, M45 N3ST4 L1NH4 SU4 M3NT3 V41 D3C1FRANDO O COD1GO QU453 4UTOM4T1C4M3NT3, S3M PR3C1S4R P3N54R MU1TO, C3RTO?

Frações singulares

Na Matemática encontramos números naturais, inteiros, racionais, fracionários, irracionais, transcendentes, complexos, imaginários, interessantes, amigos, mágicos, produtos curiosos, bailados numéricos, … A palavra fração vem do latim fractus, que significa partido. Temos frações próprias, impróprias, aparentes, mistas, unitárias, …

Os números representados por frações podem ser inteiros, dízimas finitas ou dízimas infinitas periódicas. Uma fração que representa um número inteiro diz-se uma fração aparente. Por exemplo, $6/3$ (nota que $6/3 = 2$). Outras designações:

• fração própria — o numerador é menor do que o denominador;
• fração imprópria — o numerador é maior do que o denominador.

Nesta edição apresentamos-te algumas frações singulares: são iguais a um número inteiro e escrevem-se com os nove algarismos, de 1 a 9, sem repetições.

$$\frac{13\,458}{6729} = 2 \qquad \frac{17\,469}{5823} = 3 \qquad \frac{15\,768}{3942} = 4 \qquad \frac{14\,835}{2967} = 5$$ $$\frac{34\,182}{5697} = 6 \qquad \frac{16\,758}{2394} = 7 \qquad \frac{25\,496}{3187} = 8$$

Se utilizarmos os dez algarismos, de 0 a 9, sem repetições, ainda conseguimos representar o número 9 através de uma fração, que é a mais singular de todas:

$$\frac{97\,524}{10\,836} = 9$$

Existirão outras como esta, utilizando os 10 dígitos, sem os repetir? Talvez, quem sabe? Investiga!

Curiosidades numéricas, Coleção Retalhos

6174, o número persistente

Uma série de subtrações e o número 6174 aparece! Escreve um número de quatro algarismos que não sejam todos iguais. Depois, com os algarismos desse número, escrevemos o maior e o menor número possível. A seguir, subtraímos esses dois números, e assim sucessivamente, até encontrar o 6174.

Diz o autor, que compara este número às pessoas que nunca têm hora certa para chegar aos encontros: ele, o número 6174, também não tem subtração certa para aparecer! Mas não falta ao encontro!

Exemplo: número escolhido → 3024

$$\begin{aligned} 4320 - 0234 &= 4086 \\ 8640 - 0468 &= 8172 \\ 8721 - 1278 &= 7443 \\ 7443 - 3447 &= 3996 \\ 9963 - 3699 &= 6264 \\ 6642 - 2466 &= 4176 \\ 7641 - 1467 &= \mathbf{6174} \end{aligned}$$

7 subtrações! Experimenta com outros números e envia o teu comentário.

Ângulos vs. números

Quantos ângulos tem um número? É uma curiosidade interessante. Um número tem tantos ângulos tal e qual o próprio indica.

Luís Rodrigues, 11.º K

Forma pitagórica de calcular potências

Observa a sequência:

$$1^2 = 1, \quad 2^2 = 1 + 3, \quad 3^2 = 1 + 3 + 5, \quad 4^2 = 1 + 3 + 5 + 7, \quad 5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$$

Podemos calcular o quadrado do número natural $n$, somando os $n$ primeiros números naturais ímpares. Por exemplo, se a potência for $23^2$, temos de somar os 23 primeiros números ímpares.

Haverá vantagem neste cálculo? Pode haver… porque os números ímpares formam uma progressão aritmética de razão 2, o que nos permite fazer a soma dos seus $n$ primeiros termos de forma muito simples: somando o primeiro termo com o último, e multiplicando o valor obtido pela metade do número de parcelas.

A potência $23^2 = {?}$ O 23.º número ímpar é 45. A soma dos primeiros 23 ímpares é $(1 + 45) \times 11{,}5 = 529$. Também $23^2 = 529$.