Combinatória — palavras de ABRIL

Ano 2 · Edição 03 · maio 20243 de 103 min de leitura

12.º ano

A Análise combinatória ou Combinatória é a parte da Matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagens. É muito utilizada no cálculo de probabilidades.

Desafio 1

Palavras de ABRIL

Dispondo as cinco letras da palavra ABRIL de todos os modos possíveis, podemos formar 120 palavras diferentes (por exemplo, RBLAI, RALIB, BARIL, LIBRA, etc.). Se as escrevermos por ordem alfabética, qual é a última letra da que ocupa a 111.ª posição?

Neste momento, os alunos do 12.º ano já conhecem uma ferramenta que permite contar o número de palavras diferentes, com ou sem significado, que se podem obter com estas 5 letras todas diferentes. Trata-se de contar o número de sequências diferentes com estas 5 letras, ou seja, o número de trocas (permutações) que elas (letras) podem fazer. Chamamos a este número “permutações de 5 elementos” ou “fatorial de 5”, e escrevemos $5!$ .

Podes obter o fatorial de um número na calculadora. Mas também o podes calcular facilmente. Repara que, nesta situação em estudo, para a 1.ª letra da palavra tens 5 possibilidades (A, B, R, I ou L), para a 2.ª tens apenas 4, dado que não vais poder repetir a letra que usaste na 1.ª posição, na 3.ª tens 3, na 4.ª tens 2 e na 5.ª tens 1, ou seja, no total, tens $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ possibilidades (palavras).

Na resolução de um problema, devemos subdividi-lo em etapas mais simples:

Qual será a primeira palavra desta sequência? Talvez ABILR…
E a última?
Quantas são as palavras começadas por A?
As últimas começam todas por R. Quantas são?
A 111.ª palavra por que letra começa?

E já estás bem encaminhado… É fundamental organizar muito bem o problema que temos em mãos!

Ver resolução

Por ordem alfabética, as letras são A, B, I, L, R. Há $4! = 24$ palavras começadas por cada letra:

A: posições 1–24; B: 25–48; I: 49–72; L: 73–96; R: 97–120.

A 111.ª palavra é a 15.ª das começadas por R. Fixado o R, há $3! = 6$ palavras para cada segunda letra: RA… (97–102), RB… (103–108), RI… (109–114). É a 3.ª das começadas por RI: RIABL, RIALB, RIBAL.

A última letra é L.

Desafio 2

Algarismos 1

Escrevendo os números de 1 a 100, inclusive, quantos algarismos 1 utilizamos? E de 1 a 1000?

Ver resolução

De 1 a 99, o 1 aparece 10 vezes como algarismo das unidades (1, 11, …, 91) e 10 vezes como algarismo das dezenas (10 a 19). Com o 100, são 21.

De 1 a 999, pelo mesmo raciocínio, aparece 100 vezes em cada uma das 3 posições: 300. Com o 1000, são 301.

Desafio 3

Códigos crescentes

Considera todos os códigos formados por 4 algarismos. Quantos destes têm os algarismos por ordem crescente, da esquerda para a direita?

Ver resolução

Contamos os códigos cujos algarismos nunca diminuem da esquerda para a direita (podem repetir-se, como em 1223).

4 algarismos diferentes: basta escolher quais são: ${}^{10}C_4 = 210$ códigos (ex.: 0236).
3 algarismos diferentes, um repetido: ${}^{10}C_3 = 120$ grupos, cada um com 3 códigos (ex.: 1123, 1223, 1233): 360.
2 algarismos diferentes: ${}^{10}C_2 = 45$ grupos, cada um com 3 códigos (ex.: 2233, 2223, 2333): 135.
Todos iguais: 10 códigos (0000, 1111, …, 9999).

No total, $210 + 360 + 135 + 10 =$ 715 códigos.

Se “crescente” quiser dizer estritamente crescente (sem repetições), a resposta é só a primeira parcela: 210.