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Arquimedes é considerado um dos maiores cientistas da Antiguidade Clássica. Foi físico, matemático e inventor. Vejamos algumas das suas principais invenções:

• o Parafuso de Arquimedes — consiste num dispositivo em espiral para elevar água; é uma espécie de mola espiral, ajustada dentro de um cilindro, que, ao girar, faz com que a água vá subindo no cilindro;
• a pedido do rei, na iminência de uma batalha, criou várias máquinas para defesa da sua Pátria:
  1. um sistema para mover uma monumental embarcação grega (trirreme) e lançá-la ao mar: a embarcação era movida por um sistema de roldanas de grande capacidade, que estavam ligadas à embarcação por meio de cabos;
  2. um tentáculo mecânico, munido de pinças gigantescas que esfacelavam as embarcações mais próximas;
  3. catapultas capazes de atirar rochas a longas distâncias, atingindo as embarcações inimigas;
  4. enormes espelhos côncavos feitos de metal polido que dirigiam os raios solares sobre as velas dos navios inimigos, ateando-lhes fogo.

Em Siracusa, cidade grega onde vivia, o povo estava tão seguro de que as máquinas de Arquimedes defenderiam a cidade que ficaram alheios à ameaça romana. Mas não há bem que sempre dure…

Para saberes mais, consulta, por exemplo, ebiografia.com/arquimedes.

Quem foi Arquimedes?

Arquimedes nasceu em Siracusa, na Sicília, e foi notável em várias áreas do saber. Utilizando as suas próprias palavras numa carta a Eratóstenes, foi “um sábio zeloso, um filósofo distinto e um grande admirador das investigações matemáticas”. Foi um dos nomes mais brilhantes na História das Matemáticas e, sem dúvida, o primeiro de toda a antiguidade. Muito novo, foi para Alexandria para seguir as lições de Euclides, tendo voltado mais tarde à sua cidade natal.

Dedicou toda a sua vida à investigação com o objetivo de fazer progredir as Matemáticas puras e aplicadas. As suas áreas de interesse foram muito variadas: da Geometria plana e sólida à Aritmética, da Mecânica à Hidrostática e à Astronomia, notabilizou-se em todas elas.

Quanto a Arquimedes matemático, começamos por referir que os seus conhecimentos geométricos eram de facto admiráveis, para a época. Os seus trabalhos sobre determinações infinitesimais, com o emprego rigoroso do método da exaustão, abriram caminho ao trabalho de Leibniz e Newton, permitindo-lhes fundar o Cálculo diferencial e integral no séc. XVII.

Arquimedes descobriu que, em todos os círculos, sejam grandes ou pequenos, o quociente entre o comprimento do seu perímetro e o do seu diâmetro é constante. Esta constante universal de todos os círculos é o número pi.

$$\frac{C_1}{d_1} = \frac{C_2}{d_2} = \cdots = \pi$$

Como vimos na edição anterior, só muitos séculos mais tarde se viria a conhecer um “número razoável” de dígitos do pi. No entanto, Arquimedes usou-o com precisão, ao entendê-lo como uma razão constante!

A obra mais conhecida de Arquimedes é “A Medida do círculo”. Em três teoremas, Arquimedes demonstra, por exaustão, que “a superfície do círculo é igual à superfície do triângulo retângulo cujos catetos são a periferia $c$ e o raio $r$ da circunferência do mesmo círculo”. De facto,

$$\pi \times r^2 = \frac{2\pi r \times r}{2}$$

Constatamos, com espanto, que os cálculos feitos por Arquimedes pressupunham o conhecimento do cálculo de valores aproximados das raízes quadradas dos números e de senos de ângulos…

Mas, de todos os seus trabalhos, aquele que Arquimedes considerou o mais belo foi “O tratado da Esfera e do Cilindro”. Nesta obra, descobriu e demonstrou vários resultados dignos de nota, como por exemplo:

• a área da esfera é igual à de quatro círculos máximos do mesmo diâmetro;
• a área da esfera é também igual a 2/3 da área do cilindro circunscrito (com altura e diâmetro iguais ao diâmetro da esfera);
• o volume da esfera é igual a 2/3 do volume do cilindro circunscrito;
• “o volume da esfera de raio $r$ é 4 vezes o volume do cone com diâmetro da base $2r$ e altura $r$”.

O seu fascínio pelas relações entre as superfícies e os volumes da esfera e do cilindro era tão grande que, a seu pedido, foi gravado no seu túmulo uma esfera inscrita num cilindro.

Para saberes mais, podes consultar o livro História das Matemáticas na Antiguidade*, Vasconcellos, Fernando A. L., Ludus.*

Na edição anterior, lançámos o desafio de pintares o triângulo de Pascal de acordo com os restos da divisão dos seus elementos por 4 e também por 5. Diz-se que se trata de uma divisão módulo 4 ou módulo 5, respetivamente.

Em cada um dos casos, o que te propusemos foi que escolhesses uma cor diferente para cada um dos restos. Mas poderíamos produzir alterações à regra. Por exemplo, poderias pintar o resto zero com uma cor e todos os outros com outra!

Vamos analisar agora os dois casos que foram propostos.

Triângulo de Pascal pintado com 4 cores

Nota que:

• a soma de dois números divisíveis por 4 é divisível por 4 (resto 0 + resto 0 = resto 0);
• a soma de um número divisível por 4 com outro qualquer com resto $k$ é um número com resto $k$. Assim, a cor verde é “neutra”, isto é, o resultado terá a cor do outro número;
• por exemplo, a soma de dois números que tenham resto 3 dá um número cujo resto será 2 ($3 + 3 = 6 \to 6 - 4 = 2$);
• etc.

Triângulo de Pascal pintado com 5 cores

Nota que:

• a soma de dois números divisíveis por 5 é um número divisível por 5 (resto 0 + resto 0 = resto 0);
• a soma de um número divisível por 5 com outro qualquer que dê resto $k$ é um número com resto $k$. Assim, a cor azul-turquesa é “neutra”, isto é, o resultado terá a cor do outro número;
• a soma de dois números que tenham resto 3 dá um número cujo resto será 1 ($3 + 3 = 6 \to 6 - 5 = 1$): verde com verde dá azul-escuro;
• verde com laranja dá cor-de-rosa porque $3 + 4 = 7$, logo o resto será 2 ($7 - 5 = 2$);
• etc.

Compara com o triângulo gerado no computador:

Colorir pelo resto da divisão por45237

“E o Prémio Nobel da Matemática vai para…” Quem pensa já ter ouvido este anúncio várias vezes está absolutamente equivocado.

Quando, em 1895, Alfred Nobel (1833–1896) assinou o seu último testamento, instituiu que uma grande parte da sua imensa fortuna se destinaria à atribuição de prémios a quem, “no ano precedente, tenha prestado um contributo valioso à humanidade”.

Nobel especificou as áreas a distinguir com o prémio, de periodicidade anual, sendo o valor dividido em cinco partes iguais, cabendo três partes a quem fizesse a descoberta, desenvolvimento ou invenção mais relevante no campo da Física, no campo da Química e no campo da Fisiologia ou da Medicina; uma parte para a pessoa que, no campo da Literatura, produzisse a obra mais extraordinária e com um propósito idealista; e uma parte para a pessoa que mais tivesse contribuído para a aproximação entre nações, a redução de armamento e a promoção da paz. Estavam criados os Prémios Nobel da Física, da Química, da Medicina, da Literatura e da Paz.¹

A leitura do testamento causou generalizada polémica, a ponto de os primeiros prémios terem sido atribuídos apenas cinco anos mais tarde, em 1901. Mas suscitou sobretudo profunda consternação entre os académicos matemáticos, por verificarem que a sua área não era contemplada. É inegável que Nobel tinha um profundo interesse pelas áreas que elegeu. O que parece despertar estranheza é o facto de ter excluído a Matemática dos prémios. As razões para esta “omissão” permanecem até hoje desconhecidas, e as justificações avançadas são apenas deduções, resvalando até para o domínio da especulação.

Aquela que tem fomentado maior curiosidade junto do público respeita à hostilidade entre Nobel e o mais famoso matemático sueco da sua época, Magnus Gösta Mittag-Leffler, por alegadamente ter mantido uma relação amorosa com a amante de Nobel, a austríaca Sophie Hess. Ainda que entre os dois homens tenham ocorrido atritos, como afirmou posteriormente Mittag-Leffler, não é garantido que Mittag-Leffler tenha chegado a conhecer Sophie Hess.

Assim, a existir uma retaliação por parte de Nobel ao excluir a Matemática dos prémios, essa dever-se-ia a razões de ordem pessoal e/ou profissional e não a rivalidades amorosas. A hipótese sentimental afigura-se, portanto, pouco plausível, pelo que o enigma se mantém.

As razões para a não existência de um Prémio Nobel da Matemática poderão até ser mais simples do que se tem querido supor: talvez Alfred Nobel tenha desejado premiar invenções práticas, com impacto direto na vida das pessoas, e a Matemática afigurava-se-lhe demasiado teórica; talvez Alfred Nobel entendesse que a teorização matemática já estava contemplada nas descobertas das restantes ciências; talvez Nobel não tivesse um entusiasmo concreto pela Matemática, embora reconhecesse a sua aplicabilidade; talvez Nobel se tenha, simplesmente, esquecido de incluir a Matemática no seu testamento…

O certo é que o mundo académico reconhece a importância e o estímulo intelectual que um prémio desta envergadura confere. Por isso, foi instituída em 1932 a Medalha Fields, que recompensa, de quatro em quatro anos, dois, três ou quatro matemáticos com idade inferior a 40 anos, e o Prémio Abel, em homenagem ao matemático norueguês Niels Henrik Abel, de frequência anual e estabelecido pelo governo da Noruega em 2002, no valor de 7,5 milhões de coroas norueguesas (cerca de 650 000 euros).

Como se vê, há cada vez mais razões para investirmos na Matemática!

¹ Em 1968, o Sveriges Riksbank (Banco Central Sueco) estabeleceu o Prémio das Ciências Económicas em Memória de Alfred Nobel, com base no donativo recebido da Fundação Nobel, nesse ano, por ocasião do tricentenário da criação do banco.

Para além dos resultados matemáticos notáveis que vão surgindo, existem alguns problemas que permanecem em aberto, sem solução.

No ano 2000, o Instituto Clay de Matemáticas de Massachusetts (EUA) elegeu sete destes problemas e instituiu um prémio de 1 milhão de dólares para a resolução de cada um deles. Estes problemas ficaram conhecidos pelos problemas do milénio. Até à data, apenas um deles foi resolvido, em 2003: “A conjetura de Poincaré”. No entanto, o matemático russo que o solucionou, Grigori Perelman, prescindiu deste prémio milionário. Por este feito notável, foi-lhe, ainda, atribuída a medalha Fields, que também recusou.

Para saberes mais sobre este assunto, podes consultar matematicasimplificada.com/problemas-do-milenio.

Apresentamos-te, em seguida, um problema aparentemente muito simples, mas que ainda ninguém conseguiu demonstrar, desde há quase 100 anos…

A conjetura (hipótese) de Collatz

O problema que te apresentamos foi inventado em 1937 pelo matemático alemão Lothar Collatz (1910–1990) e tem na sua base apenas duas regras. Escolhe-se um número natural qualquer $N$ (1, 2, 3, …):

• se o número $N$ for par, divida-se por 2: $N \to N/2$;
• se o número $N$ for ímpar, multiplique-se por 3 e adicione-se 1: $N \to 3N + 1$.

Repita-se o procedimento com o número obtido, e o mesmo com o seguinte, e assim sucessivamente.

A Conjetura de Collatz afirma que, fazendo estas operações, qualquer número termina no 1 e, a partir daí, entra no ciclo $1 \to 4 \to 2 \to 1$.

Por exemplo, se utilizarmos o número $N = 17$, ele evoluirá da seguinte maneira:

$$17 \to 52 \to 26 \to 13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1 \to 4 \to 2 \to 1 \ldots$$

Chegamos ao número 1 e, daí em diante, os números que se obtêm são 1, 4, 2, 1 para sempre!

Desafio: repete o procedimento com outros números à tua escolha e testa a hipótese de Collatz. Experimenta o 27!

Escolhe um número natural

Este é o tipo de problema que se presta a ser estudado por computadores, que nos permitem verificar que a hipótese é verdadeira para números com uma ordem de grandeza já muito considerável. Contudo, esta conjetura poderá ser falsa para algum número superior! Por isso, o problema continua por demonstrar!

Parece fácil, não é? De facto, muitos foram os cientistas que passaram anos, décadas, a tentar resolvê-lo. Inutilmente, até hoje!

Durante a guerra fria, até se dizia que o problema tinha sido inventado pelos soviéticos para atrasar a ciência nos EUA… Há quem diga que a Matemática ainda não está pronta para solucionar problemas destes!

Vamos repensar o infinito…

O conjunto dos números naturais é infinito. Que outros conjuntos conheces com o mesmo número de elementos do conjunto dos naturais? Pensemos em partes deste conjunto: os números ímpares, os números pares, os múltiplos de 3, os múltiplos de outro número natural, os números primos… Terão todos o mesmo número de elementos? Vejamos!

Comecemos por perceber como fazemos uma contagem básica. Contamos pelos dedos da mão ou por “associação”:

Recorda que o cardinal de um conjunto é o número de elementos desse conjunto.

Por este processo, contamos os objetos do nosso dia a dia. Com conjuntos maiores, naturalmente que a nossa abstração dá a ajuda necessária. Mas os conjuntos do nosso dia a dia têm todos um número finito de elementos. Mesmo o número de grãos de areia da praia onde fomos a última vez ou o número de grãos de areia de todas as praias do nosso planeta são em número finito.

No estudo da Matemática, o primeiro conjunto infinito com que contactamos é o dos números naturais, o conjunto $\mathbb{N}$. Este conjunto diz-se numerável; dizemos que o conjunto dos naturais tem uma infinidade numerável de elementos. Mas existem muitos outros conjuntos numeráveis: o conjunto dos números naturais pares, dos ímpares, dos múltiplos de 3 e muitos mais.

Vejamos um problema interessante que te mostra de forma simples que assim é. Em 1925, o matemático alemão David Hilbert apresentou o seguinte paradoxo:

O Hotel Infinito

O Hotel Infinito é um hotel que tem um número infinito de quartos numerados com os números naturais. E está cheio!

Eis que chegou um novo hóspede! O gerente arranjou uma maneira de o alojar! E até foi rápido. Mas, não estava cheio? Como resolveu o problema?

Logo depois deste, chegou um autocarro com 45 jovens matemáticos e também foram todos alojados. Como?

Para complicar o processo, chegou uma excursão com uma infinidade numerável de elementos. O guia disse: chegou a excursão dos pares. Mais atrás virá a dos ímpares. E outras e mais muitas… O gerente lá conseguiu acomodar “Os pares”. Como?!

Ver como o gerente resolveu

No primeiro caso, o gerente fez uma ligação telefónica para todos os quartos e pediu aos hóspedes que mudassem para o quarto ao lado: o hóspede do quarto 1 passou para o 2, o do 2 para o 3, e assim sucessivamente. E deu o quarto com o número 1 ao novo hóspede, já que esse quarto ficara livre. Simples, hem?

No segundo caso, que é semelhante ao primeiro e a qualquer outro em que o número de novos hóspedes seja um número finito, o gerente mandou avançar esse número de quartos: o hóspede do quarto 1 passou para o 46, o do 2 para o 47, e assim sucessivamente. E deu os primeiros 45 quartos aos excursionistas.

No último caso, esta técnica não funciona porque o hotel tem um número infinito de quartos, logo não é possível avançar “todos” os quartos. Mas o gerente, perspicaz, rapidamente resolveu o problema e acomodou todos os hóspedes. Pediu aos hóspedes que mudassem de quarto da seguinte forma: o hóspede do quarto 1 passou para o quarto 2, o do 2 para o 4, o do 3 para o 6, e assim sucessivamente, cada um deles passou para o quarto com número igual ao dobro do seu. Ficaram livres os quartos 1, 3, 5, … etc., ou seja, todos os quartos com número ímpar. O gerente deu esses quartos a cada um dos novos hóspedes, acomodando-os a todos.

O hotel continuou cheio, mas com capacidade para muitos mais hóspedes…

O que vemos é que juntando um elemento, quarenta e cinco ou qualquer outro número de elementos ao conjunto $\mathbb{N}$, ele mantém o número de elementos. Concluímos também que há tantos números pares como números naturais: repara que se estabeleceu uma correspondência biunívoca entre os números naturais e os números pares (os hóspedes que inicialmente preenchiam todos os quartos dos números naturais passaram a preencher todos os quartos com números pares), o que nos permite concluir que estes dois conjuntos têm o mesmo número de elementos: há tantos números pares como números naturais. Por um raciocínio análogo podemos concluir que qualquer subconjunto infinito de $\mathbb{N}$ tem o mesmo número de elementos de $\mathbb{N}$.

A parte tem o mesmo número de elementos do todo! Aliás, esta é a característica de qualquer conjunto infinito.

De forma simples se prova, também, que o número de elementos do conjunto dos números inteiros é igual ao número de elementos do conjunto $\mathbb{N}$. Recorda que o conjunto dos números inteiros é composto pelos inteiros positivos, os inteiros negativos e o 0. Para justificarmos esta afirmação, basta pensar numa “regra” que os faça corresponder, de forma biunívoca, ao conjunto $\mathbb{N}$. Essa correspondência poderá ser a seguinte, que se apresenta na tabela: aos naturais com o zero fazemos corresponder os números naturais ímpares e aos inteiros negativos, os números naturais pares.

$\mathbb{Z}$	0	1	2	3	4	…	−1	−2	−3	−4	…
$\mathbb{N}$	1	3	5	7	9	…	2	4	6	8	…

De igual modo provamos que a união de dois conjuntos numeráveis ainda é numerável. De forma já mais elaborada se prova que o conjunto dos racionais também é numerável (ficará para a próxima edição).

O cardinal dos conjuntos numeráveis é $\aleph_0$. Lê-se “alefe zero”. Mas estes conjuntos são os mais pequenos porque há conjuntos infinitos “maiores”!

$\aleph_0$ é o menor número (cardinal) infinito.

Infinitos maiores

O conjunto dos números reais tem mais elementos! O seu cardinal é muito maior do que o dos naturais. No entanto, é só o segundo na escala dos números infinitos…

O cardinal de $\mathbb{R}$ é representado por $\aleph_1$ (lê-se “alefe um”). Este número é igual a $2^{\aleph_0}$. Assim, $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$.*

Nota: na teoria de conjuntos, os números alefe são uma sequência de números usados para representar os cardinais (ou tamanho) de conjuntos infinitos. O símbolo que é usado para os nomear é a primeira letra do alfabeto hebraico, alefe ($\aleph$).

Vejamos, agora, qual é o cardinal do conjunto dos números irracionais. Uma vez que está contido nos reais, não pode ter maior número de elementos do que este, logo é numerável ou tem o número de elementos de $\mathbb{R}$.

Ora, numerável não pode ser porque, se assim fosse, a sua união com os racionais seria um conjunto numerável, o que é falso, visto que $\mathbb{R}$ não é numerável. Concluímos, assim, que o conjunto dos números irracionais tem o mesmo número de elementos do que o conjunto dos números reais. Há tantos irracionais como reais!

Mais uma curiosidade: prova-se que há tantos números reais no intervalo $[0, 1]$, ou noutro intervalo qualquer, como em todo o conjunto $\mathbb{R}$!

E vamos prosseguir com mais um conjunto infinito: o dos números primos!

* Nota da versão digital: que o cardinal de $\mathbb{R}$ é $2^{\aleph_0}$ está demonstrado. Já a afirmação de que $2^{\aleph_0}$ é exatamente $\aleph_1$ — ou seja, que não há nenhum infinito “intermédio” entre o dos naturais e o dos reais — é a famosa Hipótese do Contínuo, que Gödel e Cohen mostraram não poder ser provada nem refutada com os axiomas habituais da Matemática.

Como sabes, um número primo é um número natural, diferente de 1, que é divisível apenas por 1 e por si próprio. Podemos desde logo concluir que:

• o único número par que é primo é o 2 (todos os outros números pares são divisíveis por 2);
• para além do 2 e do 3, dois números consecutivos nunca são primos, dado que um deles é par.

Prova-se que há um número infinito de números primos, tal como afirmou e provou Euclides (300 a. C.). Na sua obra Elementos, Livro 9, Proposição 20, pode ler-se:

Os números primos são mais do que qualquer número grande atribuído aos números primos.

Façamos uma breve demonstração desta propriedade.

Comecemos por supor que é falsa, ou seja, que há um número finito de números primos. Designemos, então, o maior número deste conjunto por $N$. Isto é, $N$ será o maior número primo que existe.

Consideremos o número natural $P$, que se obtém multiplicando todos os números primos existentes (em número finito, pela nossa hipótese) e adicionando uma unidade a esse valor:

$$P = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times N + 1$$

Continuando o nosso raciocínio, o número $P$ não poderá ser primo, visto ser maior do que $N$. Ora, não sendo primo, o número $P$ terá de ser divisível por algum número primo ($2, 3, 5, \ldots, N$). Consideremos que $P$ é divisível pelo número primo $k$.

Consideremos, ainda, o número $Q$ que se obtém multiplicando os $N$ números primos:

$$Q = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times N$$

Este número também é divisível por $k$, logicamente. E se fizermos a diferença entre $P$ e $Q$, obtemos um número igualmente divisível por $k$. Mas esta diferença, $P - Q$, é igual a 1, o que nos leva à afirmação de que 1 é divisível por $k$, e portanto $k = 1$. No entanto, 1 não é um número primo, pelo que chegamos a uma impossibilidade, uma contradição, o que nos permite concluir que $P$ terá de ser primo!

Encontrámos, assim, um número primo maior do que $N$, o que nos mostra que a nossa suposição inicial, de que existia o maior número primo, é falsa.

Conclusão, a propriedade é verdadeira: há uma infinidade de números primos.

Portanto: o número de números primos é infinito!

Desafio 1

As bodas de rubi

Na celebração das suas bodas de rubi (40 anos de casados), Guilherme e Rute convidaram toda a família para uma festa. Pensando na sua longa vida juntos, Guilherme recordou como se enamorou da jovem Rute, quando andavam os dois no colégio, havia muitos anos. Contemplando os seus filhos e as suas famílias, questionava-se se voltariam a estar todos juntos no aniversário das bodas de ouro.

Absorto nos seus pensamentos, deu-se conta que a diferença entre o quadrado da sua idade e o quadrado da idade da sua esposa Rute era exatamente igual ao quadrado do número dos seus filhos.

Que idade tinham Guilherme e Rute quando se casaram e quantos filhos tiveram? (Responde com o número de filhos.)

Atividades matemáticas, Brian Bolt

A tua respostafilhosVerificar

Ver resolução

Sejam $g$ e $r$ as idades atuais e $n$ o número de filhos: $g^2 - r^2 = n^2$, ou seja, $(g - r)(g + r) = n^2$.

Como se conheceram no colégio, têm idades próximas; e, casados há 40 anos, têm ambos mais de 55 anos.

• Diferença de 1 ano ($g = r + 1$): vem $g + r = 2r + 1 = n^2$. Para $r \ge 58$, o primeiro valor que dá um quadrado perfeito é $r = 60$: $2 \times 60 + 1 = 121 = 11^2$. Guilherme tem 61 anos e Rute 60: casaram-se com 21 e 20 anos e tiveram 11 filhos.
• Diferença de 2 anos ($g = r + 2$): vem $4(r + 1) = n^2$, e $r = 63$ dá $4 \times 64 = 256 = 16^2$. Guilherme teria 65 anos e Rute 63: casaram-se com 25 e 23 anos e tiveram 16 filhos.

A primeira resposta parece a mais provável… mas ambas cumprem o enunciado! Haverá mais alguma possibilidade?

Desafio 2

Em quantas partes dividem o plano várias retas?

Três linhas retas dividem o plano, no máximo, em 7 regiões, como se pode perceber pela figura. Completa a tabela seguinte, escrevendo em cada caso o número máximo de regiões que se podem formar:

Número de retas ($n$)	0	1	2	3	4	5	6	7
Número de regiões ($r$)				7

Continuando a sequência, sem desenhares as linhas, és capaz de dizer quantas regiões se formam no máximo com a) 10 retas, b) 100 retas, c) $n$ retas? (Responde para 10 retas.)

Atividades matemáticas, Brian Bolt

A tua respostaregiõesVerificar

Ver resolução

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7
$r$	1	2	4	7	11	16	22	29

Cada nova reta corta todas as anteriores (em pontos diferentes), atravessando $n$ regiões e dividindo cada uma em duas: a $n$-ésima reta acrescenta $n$ regiões. Logo,

$$r_n = 1 + (1 + 2 + \cdots + n) = 1 + \frac{n(n+1)}{2}.$$

a) $r_{10} = 56$; b) $r_{100} = 5051$; c) $r_n = \dfrac{n^2 + n + 2}{2}$.

Desafio 3

Uma moeda a menos

Temos nove sacos com moedas. O primeiro tem 100 moedas, o segundo tem 200, o terceiro tem 300, e assim sucessivamente até ao último que tem 900 moedas. As moedas são todas iguais e os sacos (vazios) pesam todos o mesmo.

Um brincalhão tirou uma moeda de um dos sacos. Queremos voltar a pô-la no sítio, só que não sabemos qual é o saco e contar todas as moedas dá muito trabalho.

De repente, alguém diz: “É fácil, bastam duas pesagens para descobrir o saco onde falta uma moeda.” Como será isto possível?

José Paulo Viana, Desafios

Resolução

Os sacos vazios também pesam, por isso o número de sacos em cada prato da balança tem de ser igual. Fazemos 3 grupos de 3 sacos, todos com um total de 1200 moedas: grupo 1: sacos 1, 2 e 9; grupo 2: sacos 3, 4 e 5; grupo 3: sacos 6, 7 e 8.

1.ª pesagem: colocamos o grupo 1 num prato e o grupo 2 no outro. Se a balança equilibrar, o saco com uma moeda a menos está no grupo 3; se não equilibrar, está no grupo do prato que subiu.

2.ª pesagem: comparamos dois sacos desse grupo, um em cada prato. Como têm números de moedas muito diferentes, juntamos sacos de um grupo “bom” para equilibrar: por exemplo, se o saco estiver no grupo 3, pomos num prato os sacos 7 e 1 (800 moedas) e no outro os sacos 6 e 2 (também 800 moedas) — os sacos 1 e 2 já sabemos que estão completos. Se a balança equilibrar, o saco procurado é o que ficou de fora; se não, é o do prato que fica em cima.

Resolução publicada na edição seguinte (Ano 2, Edição 1).

Se quiseres enviar a(s) tua(s) resolução(ões), podes utilizar o endereço de email do jornal: maismatjornal@gmail.com. Serão selecionadas para publicação as melhores resoluções.

Porque são tão importantes as florestas?

As florestas têm um valor social, económico e ambiental substancial. Ajudam a proteger o solo da erosão, participam no ciclo da água, fornecem um habitat para diferentes espécies, contribuindo assim para a biodiversidade, e ajudam a controlar o clima local. Elas representam 43 % da cobertura terrestre da UE e 80 % da biodiversidade terrestre encontra-se nas florestas.

As florestas saudáveis também são fundamentais na luta contra as alterações climáticas mundiais, porque capturam dióxido de carbono da atmosfera e libertam oxigénio, contribuindo para que a vida se mantenha — é por isso que lhes chamamos os pulmões do mundo. As florestas da União Europeia (UE) absorvem anualmente o equivalente a 8,9 % do total das emissões de gases com efeito de estufa da UE.

As alterações climáticas e a perda de biodiversidade provocam secas, inundações e incêndios mais intensos que conduzem a uma maior desflorestação e, por conseguinte, ao agravamento das alterações climáticas.

No entanto, temos vindo a assistir à destruição de florestas para que a terra possa ser usada para outros fins (desflorestação), e os dados são alarmantes: entre 1990 e 2020, perderam-se 420 milhões de hectares de floresta devido à desflorestação — o que equivale a uma área do tamanho da UE, de acordo com a Organização das Nações Unidas para Agricultura e Alimentação (FAO).

A exploração madeireira ilegal continua a ser uma das principais causas da desflorestação na UE e em todo o mundo. Um exemplo disso é o que se passa na maior floresta do mundo, a Amazónia. Nas últimas duas décadas, a Amazónia perdeu 8 % da sua área florestal, uma área equivalente a Espanha. Só em 2022, a Amazónia brasileira perdeu 10 278 quilómetros quadrados de cobertura vegetal e, infelizmente, esta tendência não parece estar a diminuir.

Já o processo oposto tem lugar na UE, onde as florestas aumentaram 10 % entre 1990 e 2020. A exceção é Portugal onde, à custa dos fogos, as florestas primárias estão em risco de desaparecer. Portugal é o quarto país do mundo com maior desflorestação percentual e é responsável pela desflorestação de cerca de 7200 metros quadrados por ano.

Existem atualmente 159 milhões de hectares de área florestal na União Europeia, o que representa 43,5 % da superfície terrestre da UE. Esta cobertura da área florestal pode variar substancialmente de um Estado-Membro para outro, desde os pouco mais de 10 % em Malta aos cerca de 70 % na Finlândia.

O que podemos fazer para ajudar a inverter esta tendência? Temos de mudar hábitos enraizados há muito na nossa sociedade…

Fontes: Parlamento Europeu, florestas.pt, ecoxxi.abae.pt

Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos

No dia 24 de março realizou-se o 16.º Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos. A Escola Secundária do nosso agrupamento participou com os alunos Caterina Fezzi, do 11.º E, Dinis Santo, do 10.º E, e Rafael Frade, do 1.º B, nos jogos Produto, Atari Go e Dominório, respetivamente. O aluno Rafael Frade passou à segunda fase, ficando em 8.º lugar a nível nacional.

Parabéns a todos os alunos, e em especial ao Rafael!

PmatE

No dia 26 de abril, a ESDS participou no concurso Xeqmat, provas de Matemática inseridas nas Competições Nacionais de Ciência 2023 (PmatE), evento promovido pela Universidade de Aveiro. Os resultados ficaram um pouco aquém das expectativas, no entanto esperamos que a iniciativa sirva de motivação a futuras participações.

Dia da Matemática

No dia 14 de março, celebrou-se o Dia Internacional da Matemática e do Pi. Esta data não ficou esquecida: além da afixação de um cartaz que fizemos para divulgar o dia, decidimos, ainda, engalanar o magnífico átrio da ESDS com alguns algarismos do Pi.

Por essa altura, também aproveitámos para dar a conhecer algumas mulheres que se destacaram na Matemática.

Também na Escola Básica José Saraiva o dia foi assinalado com a realização de algumas atividades mais lúdicas.

Quase a finalizar esta edição, deixamos-te algumas sugestões de leituras e de filmes. Os livros que propomos estão ambos disponíveis na Biblioteca Municipal. Os dois filmes sugeridos podem ser vistos e requisitados na Biblioteca da ESDS. Envia-nos os teus comentários.

Livros

Filmes

Por agora, é só! Mas não terminamos esta edição sem antes apresentarmos as resoluções dos desafios da edição anterior! Desejando que tenhas gostado, esperamos pela tua colaboração na próxima edição!

Curiosidades numéricas

1) “Sneaky”

Extraído de “Mathematics in School”

Seja um número qualquer de dois algarismos, $ab$, por exemplo 95. Calcula a diferença positiva entre os quadrados dos seus algarismos. Se neste cálculo o resultado for outro número de dois algarismos, repete-se o processo. Se for um número de um algarismo, para-se. Quando este último algarismo for zero, então obtenho um “sneaky”.

• Determina os sneakies existentes entre os números 10 e 99. Resposta: 22.
• Qual é o número que demora mais passos a chegar a zero — o mais sneaky? Resposta: é o 70, que precisa de 4 etapas.

Passemos à explicação destes resultados. Nesta resolução, começámos por construir a tabela com os números de 10 a 99, organizada em 9 linhas e 10 colunas. À medida que íamos fazendo os cálculos, fomos assinalando os sneakys e os não sneakys na tabela.

Comecemos por observar que:

• se $a = b$, o número é sneaky (visto que os quadrados dos algarismos são iguais). Logo, são sneaky: 11, 22, …, 99. Isto dá-nos todos os números dessa diagonal;
• se $ab$ for sneaky, então $ba$ também o é. Podemos assinalar esses dois números na tabela;
• nos cálculos que efetuamos, passamos por resultados intermédios. Se o número em análise for sneaky, todos esses números intermédios o são, também. Conclusão semelhante se tira, caso o número não seja sneaky.

Por exemplo, $15 \to 25 - 1 = 24 \to 16 - 4 = 12 \to 4 - 1 = 3$. Concluímos que 15 não é sneaky e também não o são o 24 e o 12. Podemos cortar esses dois números na tabela (bem como o 42 e o 21).

Então basta averiguar a condição para a parte da tabela acima da diagonal (ou a de baixo) e os números da coluna da esquerda: 10, 20, 30, …, 90. A negrito, os 22 números sneaky:

10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
40	41	42	43	44	45	46	47	48	49
50	51	52	53	54	55	56	57	58	59
60	61	62	63	64	65	66	67	68	69
70	71	72	73	74	75	76	77	78	79
80	81	82	83	84	85	86	87	88	89
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99

Por exemplo, o 70 é o mais sneaky: $70 \to 49 \to 81 - 16 = 65 \to 36 - 25 = 11 \to 0$.

Desafios

1) O caracol

Professora Maria do Céu Faria

1.º dia: $+2 - 1 = +1$ metro; em cada dia avança 1 metro. Logo, no fim do 8.º dia já subiu 8 metros. No 9.º dia, ao subir os dois metros, atinge o topo (já não escorrega…).

Resposta: ao fim de 9 dias o caracol chega ao cimo do muro.

2) Contando conjuntos (OPM 2023)

A Genoveva quer escolher um conjunto de três números inteiros diferentes, de 1 a 9, cujo produto seja divisível por 4 mas não seja divisível por 8.

• Os 3 números não podem ser todos ímpares (o produto seria ímpar).
• Os três números não podem ser todos pares (o produto seria divisível por 8).

Há duas situações possíveis:

• 2 números ímpares e um par (o algarismo par terá de ser o 4): $\{4,1,3\}$, $\{4,1,5\}$, $\{4,1,7\}$, $\{4,1,9\}$, $\{4,3,5\}$, $\{4,3,7\}$, $\{4,3,9\}$, $\{4,5,7\}$, $\{4,5,9\}$, $\{4,7,9\}$;
• 2 números pares e um ímpar (nenhum dos pares pode ser divisível por 4, logo terão de ser 2 e 6): $\{2,6,1\}$, $\{2,6,3\}$, $\{2,6,5\}$, $\{2,6,7\}$, $\{2,6,9\}$.

Resposta: a Genoveva pode escolher 15 conjuntos.

3) Número de triângulos

Adaptado de Atividades matemáticas

Com os 9 pontos do tabuleiro, podemos fazer 76 triângulos. E se o tabuleiro tiver 4 × 4 = 16 pontos serão 516:

$$516 = {}^{16}C_3 - 44, \qquad 44 = 10 \times 4 + 4,$$

onde 10 é o número de linhas, colunas e diagonais com 4 pontos (cada uma dá ${}^{4}C_3 = 4$ conjuntos de 3 pontos alinhados) e 4 é o número de diagonais com 3 pontos.

Nota: ${}^{16}C_3 = 560$ é o número de conjuntos de 3 pontos que se podem formar de entre os 16.

4) Moedas falsas (I)

José Paulo Viana, Desafios

Temos oito moedas rigorosamente iguais na sua aparência exterior. No entanto, uma delas é falsa e pesa menos do que as outras sete. Fazendo apenas duas pesagens numa balança de pratos, conseguimos descobrir a moeda falsa do seguinte modo. Pesam-se dois grupos de 3 moedas, deixando duas à parte:

• se os pratos equilibrarem, a moeda falsa está no grupo das duas que não foram pesadas. Pesam-se, então, essas moedas (2.ª pesagem), uma em cada prato: a mais leve é a que fica em cima;
• se os pratos não equilibrarem, a moeda mais leve é uma das três que estão no prato que fica em cima. Pesam-se duas delas, uma em cada prato (2.ª pesagem) e deixa-se uma de parte; se os pratos equilibrarem, a moeda falsa é a que ficou por pesar; se os pratos não equilibrarem, é a que está no prato que fica em cima.

5) Moedas falsas (II)

José Paulo Viana, Desafios

Temos 10 sacos com 10 moedas cada um. Num dos sacos só há moedas falsas, com 9 gramas cada, e nos outros nove só moedas verdadeiras, que pesam 10 gramas cada. Apenas com uma pesagem, podemos descobrir qual é o saco das moedas falsas, pesando o seguinte grupo de moedas: uma moeda do saco 1, duas moedas do saco 2, três do saco 3, e assim sucessivamente, acabando com 10 moedas do saco 10, num total de 55 moedas.

Se o saco falso for o 3, por exemplo, o conjunto tem 3 moedas mais leves, pelo que pesará $550 - 3 = 547$ g. Assim, o número do saco será dado pela diferença entre 550 g e o peso do conjunto das moedas.

6) A Banca Francesa

No jogo de Casino “Banca Francesa”, o croupier lança 3 dados cúbicos e equilibrados. Cada jogador tem três apostas à escolha: a Série Grande (soma 14, 15 ou 16), a Série Pequena (soma 5, 6 ou 7) e a Série dos Ases (soma 3). Não saindo estes números, a jogada é considerada nula, sendo repetida.

Resolução. Lançando dois dados, as somas que podemos obter são todos os números inteiros entre 2 e 12. Uma vez que, neste jogo, são lançados 3 dados, temos de pensar na soma destes. Se à soma dos dois primeiros acrescentarmos o valor do 3.º dado, constatamos que, no caso da Série Grande:

• para a soma dos três dados ser 14, a soma dos dois primeiros valores poderá ser 12 (12 + 2), 11 (11 + 3), 10 (10 + 4), 9 (9 + 5) e 8 (8 + 6) — são 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 situações;
• para a soma dos três dados ser 15, a soma dos dois primeiros valores poderá ser 12 (12 + 3), 11 (11 + 4), 10 (10 + 5) e 9 (9 + 6) — 10 situações;
• para a soma dos três dados ser 16, a soma dos dois primeiros valores poderá ser 12 (12 + 4), 11 (11 + 5) e 10 (10 + 6) — 6 situações.

Temos 31 situações possíveis que satisfazem a “Série Grande”. Raciocínio análogo podemos fazer com as somas 5, 6 e 7, o que nos dá, igualmente, 31 situações. Ora, a Série dos Ases equivale a obter soma 3, o que acontece apenas num caso, $(1, 1, 1)$.

Uma vez que se repete a jogada se não sair nenhuma destas situações, concluímos que existem apenas 63 ($31 + 31 + 1$) resultados válidos neste jogo, o que se traduz em 63 resultados “possíveis” em cada jogada.

Assim, a probabilidade de ganhar com a série Grande é igual à de ganhar com a Pequena, $31/63$, e a probabilidade de ganhar com a série Ases é $1/63$. Verificamos, ainda, que a probabilidade de ganhar com as Séries Grande ou Pequena é 31 vezes superior à de ganhar com a Série dos Ases; a probabilidade de ganhar com a Série dos Ases é 62 vezes inferior à de ganhar com as outras duas séries juntas (Grande ou Pequena).

Boas férias! No próximo ano letivo estaremos de volta!