O infinito

Vamos repensar o infinito…

O conjunto dos números naturais é infinito. Que outros conjuntos conheces com o mesmo número de elementos do conjunto dos naturais? Pensemos em partes deste conjunto: os números ímpares, os números pares, os múltiplos de 3, os múltiplos de outro número natural, os números primos… Terão todos o mesmo número de elementos? Vejamos!

Comecemos por perceber como fazemos uma contagem básica. Contamos pelos dedos da mão ou por “associação”:

Recorda que o cardinal de um conjunto é o número de elementos desse conjunto.

Por este processo, contamos os objetos do nosso dia a dia. Com conjuntos maiores, naturalmente que a nossa abstração dá a ajuda necessária. Mas os conjuntos do nosso dia a dia têm todos um número finito de elementos. Mesmo o número de grãos de areia da praia onde fomos a última vez ou o número de grãos de areia de todas as praias do nosso planeta são em número finito.

No estudo da Matemática, o primeiro conjunto infinito com que contactamos é o dos números naturais, o conjunto $\mathbb{N}$. Este conjunto diz-se numerável; dizemos que o conjunto dos naturais tem uma infinidade numerável de elementos. Mas existem muitos outros conjuntos numeráveis: o conjunto dos números naturais pares, dos ímpares, dos múltiplos de 3 e muitos mais.

Vejamos um problema interessante que te mostra de forma simples que assim é. Em 1925, o matemático alemão David Hilbert apresentou o seguinte paradoxo:

O Hotel Infinito

O Hotel Infinito é um hotel que tem um número infinito de quartos numerados com os números naturais. E está cheio!

Eis que chegou um novo hóspede! O gerente arranjou uma maneira de o alojar! E até foi rápido. Mas, não estava cheio? Como resolveu o problema?

Logo depois deste, chegou um autocarro com 45 jovens matemáticos e também foram todos alojados. Como?

Para complicar o processo, chegou uma excursão com uma infinidade numerável de elementos. O guia disse: chegou a excursão dos pares. Mais atrás virá a dos ímpares. E outras e mais muitas… O gerente lá conseguiu acomodar “Os pares”. Como?!

Ver como o gerente resolveu

No primeiro caso, o gerente fez uma ligação telefónica para todos os quartos e pediu aos hóspedes que mudassem para o quarto ao lado: o hóspede do quarto 1 passou para o 2, o do 2 para o 3, e assim sucessivamente. E deu o quarto com o número 1 ao novo hóspede, já que esse quarto ficara livre. Simples, hem?

No segundo caso, que é semelhante ao primeiro e a qualquer outro em que o número de novos hóspedes seja um número finito, o gerente mandou avançar esse número de quartos: o hóspede do quarto 1 passou para o 46, o do 2 para o 47, e assim sucessivamente. E deu os primeiros 45 quartos aos excursionistas.

No último caso, esta técnica não funciona porque o hotel tem um número infinito de quartos, logo não é possível avançar “todos” os quartos. Mas o gerente, perspicaz, rapidamente resolveu o problema e acomodou todos os hóspedes. Pediu aos hóspedes que mudassem de quarto da seguinte forma: o hóspede do quarto 1 passou para o quarto 2, o do 2 para o 4, o do 3 para o 6, e assim sucessivamente, cada um deles passou para o quarto com número igual ao dobro do seu. Ficaram livres os quartos 1, 3, 5, … etc., ou seja, todos os quartos com número ímpar. O gerente deu esses quartos a cada um dos novos hóspedes, acomodando-os a todos.

O hotel continuou cheio, mas com capacidade para muitos mais hóspedes…

O que vemos é que juntando um elemento, quarenta e cinco ou qualquer outro número de elementos ao conjunto $\mathbb{N}$, ele mantém o número de elementos. Concluímos também que há tantos números pares como números naturais: repara que se estabeleceu uma correspondência biunívoca entre os números naturais e os números pares (os hóspedes que inicialmente preenchiam todos os quartos dos números naturais passaram a preencher todos os quartos com números pares), o que nos permite concluir que estes dois conjuntos têm o mesmo número de elementos: há tantos números pares como números naturais. Por um raciocínio análogo podemos concluir que qualquer subconjunto infinito de $\mathbb{N}$ tem o mesmo número de elementos de $\mathbb{N}$.

A parte tem o mesmo número de elementos do todo! Aliás, esta é a característica de qualquer conjunto infinito.

De forma simples se prova, também, que o número de elementos do conjunto dos números inteiros é igual ao número de elementos do conjunto $\mathbb{N}$. Recorda que o conjunto dos números inteiros é composto pelos inteiros positivos, os inteiros negativos e o 0. Para justificarmos esta afirmação, basta pensar numa “regra” que os faça corresponder, de forma biunívoca, ao conjunto $\mathbb{N}$. Essa correspondência poderá ser a seguinte, que se apresenta na tabela: aos naturais com o zero fazemos corresponder os números naturais ímpares e aos inteiros negativos, os números naturais pares.

$\mathbb{Z}$	0	1	2	3	4	…	−1	−2	−3	−4	…
$\mathbb{N}$	1	3	5	7	9	…	2	4	6	8	…

De igual modo provamos que a união de dois conjuntos numeráveis ainda é numerável. De forma já mais elaborada se prova que o conjunto dos racionais também é numerável (ficará para a próxima edição).

O cardinal dos conjuntos numeráveis é $\aleph_0$. Lê-se “alefe zero”. Mas estes conjuntos são os mais pequenos porque há conjuntos infinitos “maiores”!

$\aleph_0$ é o menor número (cardinal) infinito.

Infinitos maiores

O conjunto dos números reais tem mais elementos! O seu cardinal é muito maior do que o dos naturais. No entanto, é só o segundo na escala dos números infinitos…

O cardinal de $\mathbb{R}$ é representado por $\aleph_1$ (lê-se “alefe um”). Este número é igual a $2^{\aleph_0}$. Assim, $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$.*

Nota: na teoria de conjuntos, os números alefe são uma sequência de números usados para representar os cardinais (ou tamanho) de conjuntos infinitos. O símbolo que é usado para os nomear é a primeira letra do alfabeto hebraico, alefe ($\aleph$).

Vejamos, agora, qual é o cardinal do conjunto dos números irracionais. Uma vez que está contido nos reais, não pode ter maior número de elementos do que este, logo é numerável ou tem o número de elementos de $\mathbb{R}$.

Ora, numerável não pode ser porque, se assim fosse, a sua união com os racionais seria um conjunto numerável, o que é falso, visto que $\mathbb{R}$ não é numerável. Concluímos, assim, que o conjunto dos números irracionais tem o mesmo número de elementos do que o conjunto dos números reais. Há tantos irracionais como reais!

Mais uma curiosidade: prova-se que há tantos números reais no intervalo $[0, 1]$, ou noutro intervalo qualquer, como em todo o conjunto $\mathbb{R}$!

E vamos prosseguir com mais um conjunto infinito: o dos números primos!

* Nota da versão digital: que o cardinal de $\mathbb{R}$ é $2^{\aleph_0}$ está demonstrado. Já a afirmação de que $2^{\aleph_0}$ é exatamente $\aleph_1$ — ou seja, que não há nenhum infinito “intermédio” entre o dos naturais e o dos reais — é a famosa Hipótese do Contínuo, que Gödel e Cohen mostraram não poder ser provada nem refutada com os axiomas habituais da Matemática.